In contemporary Italian, esibizione does definitely not mean “exhibition” in the sense of public display of artworks and the like. It sounds like a claque from English like, say, realizzare (from “to realize”) to mean rendersi conto, or sottomettere (from “to submit”) to mean sottoporre, presentare. Nowadays, the closest meaning of esibizione refers to some kinds of sport, music etc. shows.
As pointed out by Charo, the Grande dizionario della lingua italiana records some past occurrences of esibizione as “Esposizione, mostra; pinacoteca, museo” with the examples “Rezzonico [in Migliorini, 572]: A Londra, all’Esibizione, vidi rappresentata assai bene in un quadro questa celebre abbazia. G. Raimondi, 3-304: Ci eravamo mossi, per visitare l’eccezionale esibizione dell’arte moderna. Si sa, come sia doveroso, in oggi, la costante, aggiornata informazione di cotesta instancabile arte, detta figurativa”.