Morto un papa, se ne fa un altro
che significa che ci sono poche cose irrimediabili, anche la perdita di ciò che sembra unico non è grave perché quella cosa non è unica. Per questo motivo la frase dice "un papa" e non "il Papa": per sottolineare che di papi ce ne sono stati diversi, uno via l'altro.
La trasformazione di frase che riporti:
Morto un papa, si fa un altro dei papi
esprime un complemento partitivo, che stride per diversi motivi. Primo, il partitivo è espresso male perché manca un confronto tra due quantità, come si trova per esempio in questa frase:
Devo studiare tre papi, ma per ora ne ho studiato solo uno. (ne => di quelli; il confronto o ripartizione è fra tre e uno)
Secondo, c'è una discordanza tra "un papa" (singolare) prima della virgola e "dei papi" (plurale) dopo la virgola, quindi non si può abbinarli e la frase risulta slegata. Terzo, il partitivo deve citare un insieme/quantità esistente da ripartire, ma
nel momento in cui si crea una cosa nuova, questa cosa ancora non esiste e perciò non può appartenere
ad alcun insieme - almeno in questa frase sui papi.
Come riporta https://www.skuola.net/italiano-medie/grammatica-medie/complemento-partitivo.html, il complemento partitivo "è introdotto dalle preposizioni di, tra, fra", "risponde alle domande
tra chi?, tra che cosa?", e "si trova in dipendenza di espressioni che indicano quantità".
C'è da notare che, nella grande quantità di complementi, alcuni esoterici come "di materia", "di origine", "di provenienza", "di allontanamento", ci possono essere ambiguità e sovrapposizioni,
e il partitivo a volte può essere sostituito da un altro complemento. Per esempio:
Ecco tre carte: scegline due (ne => delle/fra le/dalle "[tre] carte")
esprime un partitivo, se s'interpreta "due delle tre", oppure un complemento di origine o provenienza, se s'interpreta "due dalle tre", cioé due da quel gruppo di tre carte.
Tornando alla domanda, la trasformazione:
Morto un papa, se ne fa un altro => Morto un papa, si fa un altro papa
è totalmente corretta, la particella ne sostituisce "papa" nel senso "di papa". La stessa frase, espressa con ridondanza, sarebbe:
Morto un papa se ne fa un altro... di papa.
ed è un complemento di specificazione, perché indica "di che cosa" se ne fa un altro (di che cosa si fa una copia).
Alcuni esempi di questo complemento sono:
Ho finito la riunione: ora te ne parlo. (di questa riunione)
Ti do questi soldi, e fanne buon uso. (di questi soldi)
E' questo il tuo disegno? Fanne un altro! (di tuo disegno)
Questo complemento può essere capito meglio con un esempio di dialogo al telefono, disturbato, cosicché parti di una frase non vengono comprese:
Si è rotta la fgrzzzjh: me ne compri una?
Me ne compri una? Di cosa? (notare il di, suggerito dalla particella ne)
Di lampadina: me ne compri una, di lampadina?
oppure con frasi incomplete o sgrammaticate:
Ecco il documento, fai una copia
Una copia di questo documento, giusto?
Sì, sì: ti do questo documento, fanne una copia (di questo documento)
o ancora:
Ho fatto un salto, faccio un altro
Un altro cosa?
Un altro salto. Avrei dovuto dire "Ho fatto un salto, ne faccio un altro"
Negli esempi riportati, così come nella frase sui papi, il complemento di specificazione ha funzione esplicativa, non attributiva o possessiva (https://www.analisi-logica.it/grammatica/specificazione.html).
Si può pensare che a volte non si tratta di complemento di specificazione ma di un partitivo:
Mi hai fatto un buon caffè: fammene un altro [di quei buoni caffè]
dove la parte sottintesa (quei buoni caffè) sarebbe "la quantità iniziale da ripartire". E' un'interpretazione forse accettabile, ma è una forzatura far combaciare "quei buoni caffè"
con "il buon caffè che mi hai fatto prima". Parimenti, la frase
Questo mattone non va bene, dammene un altro
non è un partitivo, perché da nessuna parte cita "il mucchio di mattoni", "i dieci mattoni" o simili; dice invece "questo mattone" (ben preciso), e dice "un altro" che significa
"diverso da questo" (perché questo non va bene).
Un testo abbastanza approfondito sulla particella ne è il seguente: https://www.gicas.net/ne.html