Bella domanda!
La preposizione da, con verbi di moto, indica molto spesso provenienza, ma non sempre: il significato 1 nella voce del dizionario Treccani mostra infatti l'uso principale, ma prosegue
2. Introduce anche altri complementi di luogo: il moto a luogo (solo con nomi o pronomi di persona): verrò oggi stesso da te; devo andare dal sarto; scendo dal tabaccaio; il moto attraverso luogo, soprattutto in locuzioni col verbo passare: è tanto grasso che non passa dalla porta. Con verbi di quiete (complemento di stato in luogo), si adopera per lo più davanti a nomi di persona: sono stato dall’avvocato; ti attendo dal meccanico; mi servo dal droghiere qui di fronte; frequenta l’asilo dalle suore; sarò a cena da mio zio; da noi non c’è quest’uso (in questi ultimi casi equivale in genere a: «presso»); o con i nomi lato, parte: la cornice è scrostata da un lato; la stoffa è da una parte grigia, dall’altra verde; da ogni parte del paese si vede il castello; abito anch’io da quelle parti (qui indica approssimativamente il luogo, e la locuzione può anche dipendere da verbi di moto: vado da quelle parti, proviene da quelle parti).
Quindi vado a teatro, vado al mare, ma nessuno direbbe mai *vado al dottore. Però vado all’ambulatorio del dottore.
In realtà “solo con nomi o pronomi di persona” non sembra descrivere completamente l'uso, come nell’esempio del gatto.
“Le mire a dirigersi” è un tipo diverso di complemento e non indica moto.