In his book Grammatica dell'italiano adulto
(Il Mulino, Bologna, 2015), Vittorio Coletti explains that this construction is an example of what is called "dislocazione a sinistra": it consists of a complement which is written at the beginning of a sentence and then repeated in the sentence in the form of a clitic pronoun, so as to give more emphasis to that complement. For instance,
La mela, l'ha mangiata Mario.
Coletti explains that the construction "a me mi" has been used in Italian for centuries to emphasize the role of the speaker as the object of what is being said. Nevertheless, he advises to accurately avoid it in written Italian. In his words:
Qualsiasi complemento può essere dislocato (il costrutto è detto dislocazione a sinistra) in questo modo e poi ripreso con un pronome: «a Venezia ci andrò la prossima settimana», «a Mario non glielo dico». Rientra in questa tipologia di costrutti anche il famigerato e fastidioso «a me mi» («a me mi sembra strano»), da evitare perché mal giudicato, in realtà espressione di un costrutto secolare dell'italiano, usato per dare evidenza al ruolo dell'io come destinatario; è come se si dicesse «quanto a me, mi...». Evitiamolo accuratamente nello scritto, per carità, ma se qualcuno ci fa notare che è, oltre che sbagliato, brutto, proponiamogli questa frase: «a me, il comportamento di Mario, con tutte le sue esitazioni e rinvii, ripensamenti e dubbi, non mi convince del tutto», e vedrà che il doppio pronome gli sembrerà molto meno brutto e anche meno sbagliato, in questa collocazione più distanziata, pur aggiungendosi qui al raddoppiamento del pronome («a me ... mi») la costruzione con preposizione («a me») di un complemento che, nell'italiano standard, il verbo (convincere) vuole invece diretto, senza preposizione (anche se l'accusativo preposizionale è frequente negli italiani regionali del meridione).