It seems that the word footing belongs to the family of the so-called "falsi-forestierismi". Briefly, a forestierismo is a word borrowed from a foreign language; speaking about Italian, we can say that jazz, goal, gossip, tabloid, are good examples of forestierismi.
And footing? Footing is not a good one.
In fact, footing is built following the model of words like "training" et similia, using the term "foot" from "football" as base. But, differently from English - where "footing" means "moving on foot/feet" - in the Italian language that word has assumed the meaning of "training run". For a more accurated description (in Italian, I'm sorry), I leave you to the Treccani page; however, for lazy ones, I'll copy here the falsi-forestierismi section:
Dai forestierismi andrebbero invece escluse quelle parole che, nonostante presentino un aspetto straniero, non hanno alle spalle un modello alloglotto e non provengono da un effettivo processo d’interferenza: i derivati di prestiti (camionista, snobismo, sportivo), che non hanno alcun corrispettivo nella lingua di partenza (camionista in francese si dice camionneur o più spesso routier, ecc.); i nomi propri stranieri passati a nomi comuni solo nella lingua ricevente (montgomery «tipo di giaccone» dal nome del generale inglese, mussolina «tipo di tessuto» dal nome della città irachena di Mosul, scotch «nastro adesivo» dal marchio Scotch-Tape); i falsi-forestierismi, parole create sulla base di un modulo formativo straniero ma indipendentemente da un preciso modello, come, ad es., certi pseudoanglicismi del francese e dell’italiano: footing «corsa di allenamento» fu inventato – senza alcun rapporto con l’inglese footing «appoggio» – nel linguaggio sportivo francese alla fine del XIX secolo, secondo il modulo di training e simili formazioni, dalla base foot già presente in football; così il francese recordman è nato dall’incrocio di record e sportsman per indicare colui che in inglese si direbbe record holder. A questi pseudoanglicismi possono essere accodati i prestiti decurtati, composti inglesi che in francese e in italiano appaiono in forma abbreviata: dancing invece di dancing-hall, lift per lift-boy, ecc. (Gusmani 19862: 99-116).
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