Secondo la Treccani, la forma che omette il "non", cioè la frase
Sì, ma non si può non riconoscere che quel governo fece nulla sul piano dei privilegi, però
viene usata in diverse varietà colloquiali, soprattutto settentrionali, e non ha nessuna differenza semantica rispetto all'altra forma. Nell'italiano più formale o standard
la presenza o assenza di non con un secondo elemento negativo (nessuno, mai, mica, ecc.) è regolata da queste due restrizioni:
(a) se gli elementi negativi seguono il verbo, il non è obbligatorio:
non lo sapevo mica
non mi dice mai niente nessuno
(b) se gli elementi negativi precedono il verbo, il non è escluso:
mica lo sapevo
nessuno mi dice mai niente
La Treccani riporta questi esempi di omissione di "non" in frasi con elementi negativi postverbali in diverse varietà colloquiali
siamo mica matti
c’era nessuno
fa niente
e afferma:
Queste costruzioni possono riflettere il sostrato dialettale a negazione postverbale di alcuni dialetti gallo-italici: sta fomna la m pyaz mia «questa donna non mi piace» (lomb. orientale).
Dunque, si può concludere che la frase
Sì, ma non si può non riconoscere che quel governo non fece nulla sul piano dei privilegi, però
è italiano standard, mentre la frase
Sì, ma non si può non riconoscere che quel governo fece nulla sul piano dei privilegi, però
è più colloquiale.