In Italia sento spesso dire «Fatti curare».
È questa un'espressione alternativa di «abbi cura di te»?
No. In questo caso, curare si riferisce alla salute mentale: si dubita della sanità mentale, e quindi della capacità di fare ragionamenti corretti, dell'interlocutore. Non è un dubbio "reale"; viene usato solamente per insultare l'interlocutore e la sua tesi.
L'espressione può essere usata anche in senso letterale, chiaramente in contesti appropriati, ma per evitare incompresioni userei qualcosa di meno ambiguo e potenzialmente offensivo.
Non è possibile che sia un'espressione alternativa ad abbi cura di te, perché in italiano "farsi curare" significa solamente ricevere cure mediche.
No. "Fatti curare" è generalmente usato in senso offensivo, nel senso che si crede che l'interlocutore abbia problemi mentali.