So che si tratta di una domanda relativamente vecchia, ma forse posso dare un contributo, visto che non vi sono risposte accettate.
Probabilmente un linguista potrebbe dare maggiori informazioni tecniche, ma da madrelingua credo che oltre il chiaro rapporto fra i due sinonimi ci sia una leggera differenza di connotazione.
Specialmente viene usato per mettere in risalto un elemento che spicca rispetto alla massa.
Particolarmente viene usato per rimarcare un... ahem... particolare attributo.
Giocando con i tuoi esempi:
Mi piace particolarmente Shostakovich, specialmente i suoi quartetti d'archi.
Ovvero quel musicista ti piace molto, ma fra le sue opere ti piacciono soprattutto i quartetti d'archi.
[...] specialmente il lugubre timbro del controfagotto mi sembra particolarmente misterioso e intrigante.
Ovvero fra le tante caratteristiche di una sinfonia si individua qualcosa di speciale nel lugubre timbro del controfagotto, molto misterioso e intrigante. Per inciso condivido con egreg il commento su intrigante.
Probabilmente la confusione sta nel fatto che i domini semantici di speciale e particolare sono molto simili se non uguali, ma gli avverbi specialmente e particolarmente non sono completamente interscambiabili, almeno nella comune parlata italiana del 2016.
Tornando alle tue frasi originali:
Mi piacciono specialmente i quartetti d'archi di Shostakovich.
Questa frase sembra corretta, specialmente se vuoi rimarcare che, fra tutte le opere del compositore o perfino fra tutte le opere di musica classica, proprio i suoi quartetti d'archi sono i tuoi preferiti.
Mi piacciono particolarmente i quartetti d'archi di Shostakovich.
L'enfasi qui viene spostata leggermente sul fatto che i quartetti d'archi di Shostakovich ti piacciono proprio tanto, a prescindere dal resto del panorama musicale. Ma la frase, inserita in un particolare contesto, potrebbe anche avere lo stesso significato che se avessi usato specialmente (es. Ascolto spesso le sinfonie di Shostakovich, ma mi piacciono particolarmente i suoi quartetti d'archi).
Il lugubre timbro del controfagotto mi sembra specialmente misterioso e intrigante.
Leggendo e rileggendo questa frase, mi sembra che qualcosa non torni. Probabilmente la posizione dell'avverbio non corrisponde al suo significato: in quella posizione solo particolarmente sembra avere davvero senso, mentre specialmente potrebbe essere portato all'inizio della frase e riferirsi all'intero commento, come in uno dei miei esempi precedenti, in cui il timbro del controfagotto viene selezionato dal resto degli elementi in quanto particolarmente speciale ;-)
