Tra le due frasi indicate, quella giusta è esclusivamente la seconda. Infatti, in italiano esiste la locuzione congiuntiva in modo da che introduce una proposizione subordinata all'infinito. Se il soggetto della subordinata è lo stesso della sua principale, si può quindi usare in modo da + infinito.
Esiste anche una locuzione simile che può essere usata come congiunzione consecutiva, in modo che, la quale regge una proposizione subordinata in un modo finito e permette di avere una subordinata con un soggetto diverso. Non esiste invece in modo di come congiunzione.
Tuttavia, si può trovare fare in modo di. Questa frase usa sia di che da in una maniera che può aiutare a mettere in luce la differenza:
Fa' in modo di arrivare in tempo, in modo da non trovare una coda troppo lunga alle casse del cinema.
Si noti la virgola, che ci dà un'indicazione interessante, perché sarebbe assurdo mettere la virgola tra fa' e in modo di. Infatti, nel primo caso, fare in modo è un'espressione indivisibile, è come se fosse un verbo a sé stante. L'espressione fare in modo funziona come qualsiasi altro verbo che introduca una subordinata e regge di + infinito oppure che + finito. Ecco quindi come dobbiamo pensare (e pronunciare!) la frase:
Fa'-in-modo di arrivare in tempo, in-modo-da non trovare una coda troppo lunga alle casse del cinema.
Questo spiega la regola che sembra arbitraria (e che si trova per esempio mal espressa qui) che può essere riassunta in questo modo: si usa sempre in modo da tranne quando si dice fare in modo di.
A proposito di fare in modo da: a me sembra semplicemente sbagliato. Si è portato nei commenti sotto un'altra domanda l'esempio di una pagina di Treccani che cita farò in modo da contentarti; l'esempio sembra obsoleto e sospetto che l'equivoco nasca dalla quasi omofonia con farò in modo d'accontentarti (già dicendo farò in modo da soddisfarti l'esempio suona molto peggio). Se tuttavia si trattasse di un frammento di una frase anche solo leggermente più lunga, dove fosse possibile immaginare una virgola dopo farò, per quanto spiegato sopra sarebbe accettabile. Per esempio:
Lo farò, in modo da accontentarti.