Con "sostenere" si sottolinea che si sta facendo un certo sforzo, o comunque si sta mantenendo una postura apposita. Se si parla di "sostenere" un oggetto fisico o una persona, normalmente si implica l'idea che c'è un pericolo di caduta, e "sostenendo" si evita che cada.
In castigliano e catalano esistono i verbi "sostener" e "sostenir", che hanno un ambito di applicazione più ampio rispetto all'italiano "sostenere", ma che comunque include anche il significato italiano. In queste lingue esiste anche un altro verbo che, tra gli altri, può avere il significato di "sostenere": "aguantar".
"Sostenere un fazzoletto" potrebbe evocare un'immagine di un fazzoletto pesante che richiede uno sforzo per evitare che cada, quindi qualcosa di abbastanza insolito, oppure di una persona con un braccio esteso sulla cui mano si trova un fazzoletto; in questo caso si potrebbe dire "sostenere il fazzoletto", se si vuole marcare molto il fatto che altrimenti cadrebbe, però direi che si userebbe piuttosto "(sor)reggere" o semplicemente "tenere in mano" un fazzoletto.
Lo sforzo evocato dal verbo "sostenere" non è necessariamente fisico, e si può usare il termine anche in senso metaforico:
Ha dovuto sostenere (il peso di) una famiglia
Ha sostenuto dei costi molto alti
In alcuni casi si può usare sia "tenere" che "sostenere", anche se c'è sempre una certa differenza di significato (che dipendendo dal contesto può essere anche significativa).
Teneva lo scatolone (semplicemente ce l'aveva, probabilmente in mano o tra le mani)
Sosteneva lo scatolone (lo scatolone era in qualche modo in equilibrio precario e solo grazie a lui non cadeva)
