Ci sono due spiegazioni diverse sull'origine di questo termine.
Il Vocabolario Etimologico di Pianigiani (1907) suggerisce a) provenienza latina, e b) provenienza dal nome del villano bergamasco:
La prima versione è più vecchia e corrisponde a quello che scrive Vincenzo De Amicis nel libro L'imitazione latina nella commedia italiana del XVI secolo (1871, p.20):
Il nome stesso di Zanni dato alle maschere della commedia dell'arte, ne indica appunto la origine, chè esso non è altro che il latino Sannio <...>.
E così scrive anche Francesco Saver Quadrio in Storia e della Ragione d'Ogni Poesia (1744, II, p. 213):
Dico adunque, che la voce Zanni è a noi derivata originalmente dal Greco Sannos, voce da Gratino, e da altri Greci usata, a lignificare uno stolto, o scempio, dalla quale trassero i Latini Cornici la lor voce Sannio, e sanniu. <...> E perché appunto quelli Scempi, e Stolti fanno con le lor positure, aspetti, e gesti, mille morfie, onde movere il riso, disse però ottimamente Tullio cosi scrivendo: "E che ci può essere tanto ridicolo, quanto un Sannione, il quale con la bocca, col volto, con imitare i movimenti, con la voce, finalmente con tutto il corpo è motivo di riso?"
La seconda spiegazione, proprio quella che viene suggerita in tutti i dizionari moderni, è più recente. Per esempio, dizionario di De Mauro e Mancini:
zanni
1. personaggio della commedia dell’arte che rappresenta il servo scaltro e imbroglione, oppure il servo sciocco o finto sciocco dalle trovate burlesche e ridicole
2. (non com.) buffone, pagliaccio: fare lo zanni
Etimologia ← forma toscanizzata del ven. zani, riduzione dial. del nome proprio giovanni.
Questa spiegazione viene attribuita a Carlo Dati, come citato da Gilles Ménage nel libro Le origine della Lingua Italiana (1685, p.498):
ZANI. ZANNI. Buffone. Dissi nelle mie origini Francesi, che questo vocabolo Italiano derivava dal Greco-Barbaro sanniu, voce dello stesso significato. E questo è anche il sentimento di quel gran Letterato Claudio Salmasio, sopra l'istoria Augusta. <..> Ora sono del parere del Signor Carlo Dati, quel celebre Accademico della Crusca, a cui tanto debbono le Lettere Toscane, il quale tien per fermo che sia stata corrotta questa voce da quella di Giovanni.
Ménage poi recita la lettera completa di Carlo Dati (che è troppo lunga per riprodurla qui) e conclude che "Sig. Ferrari seguita il Salmasio" (cioè Ottavio Ferrari nelle Origini della lingua Italiana), ma che Ménage stesso non è "di parere di cangiar sentimento".
Quadrio, menzionato sopra, è molto scettico per quanto riguarda la provenienza di questo termine dal nome Giovanni:
Io ben so, che Carlo Dati, riferito dal Menagio, l'ha creduto che quello nome di Zanni fosse derivato da Giovanni, che in Lingua Toscana per abbreviazione si dice Gianni, e che i Lombardi dicono Zanni, conghietturando che forse per essersi uno de' primi Arlichini chiamato Giovanni sia rimesa questa denominazione a tutti gli altri susseguiti Arlichini. Io non mi maraviglio pero tanto di esso Dati, che abbia abbondonata la primiera etimologia <...>
... ma, ovviamente, l'opinione di Dati, uno degli Accademici della Crusca, ha guadagnato più rispetto e credibilità.
TL;DR La spiegazione vecchia è che zanni proviene dalla voce latina sannio con lo stesso significato. La versione "moderna" è stata introdotta nel 1685 e insiste che Zanni non significhi altro che Giovanni (=Gianni), come si pronuncia in Lombardia e per lo più a Bergamo. Gli esperti in etimologia e nella storia dell'arte hanno considerato credibili tutte e due versioni.
