Dal Treccani Marchio e Marca sembrano entrambi essere, in ultima istanza, termini di origine germanica che hanno il significato originario di "segno".
Entrambi possono essere usati in modo intercambiabile nel contesto di ditta produttrice. I termini hanno anche altri significati, come marca da bollo per indicare una certa tassa da applicare ai documenti, per cui i due termini non sono intercambiabili. Marca viene usato specificatamente per molte espressioni simili a marca da bollo, come marca della zecca o marca tipografica.
Esiste anche un'espressione particolare: di marca, usata per indicare un prodotto di una marca prestigiosa, per cui non si può usare il termine marchio.
Se vogliamo essere pignoli la differenza d'uso tra i due termini, in questo contesto, è che solitamente marca indica genericamente la ditta produttrice, marchio viene usato più per indicare il segno stesso usato per rappresentare la marca. Ad esempio, marca: Ferrari, marchio: logo della Ferrari.
Onestamente marchionimo non lo avevo mai sentito, dalla voce sul Treccani indica il nome di un prodotto di una specifica marca che è in uso per indicare tutti i prodotti di quel tipo. Non mi vengono in mente esempi in italiano, ma gli americani usano to google per intendere "usare un motore di ricerca".