Preposition before infinitive - a vs da

Question

I found the following sentence:

È un vero peccato che ti abbiano rubato il portafoglio.

Ora non possiamo comprare da mangiare.

However, I wonder why this uses comprare da mangiare, instead of comprare a mangiare. I know both a and da can be used as a proposition before an infinitive verb. I also know that there is a usage of da + infinitive to express "something to do" much like to + infinitive in English.

However, then I wonder why da mangiare can work without an object. For example, if the sentence is the following, which has an object to modify, I have no problem in understanding it:

Ora non possiamo comprare qualcosa da mangiare.

However, if there is no object there, I can't differentiate when to use a and when to use da, especially since both can be used to express an aim after the main verb.

So how can I tell apart the use cases of these two prepositions?

(Please answer the question in English if possible...)

Answer 1

According to the Treccani, da may introduce a final clause when after a verb:

4. Con verbi, introduce proposizioni finali o consecutive: dammi un libro da leggere; non hanno da mangiare; Forse s’avess’io l’ale // Da volar su le nubi (Leopardi); facevano un rumore tale da sbalordire; non ho niente da fare; guadagna tanto da vivere; non c’è tempo da perdere, ecc. Usi più particolari: far da mangiare; negozio da affittare; uomo da ammirare (= degno di essere ammirato); c’è da essere investiti, o da farsi investire, con questo traffico; c’è da diventar matti; avere da, dovere: ho da fare, ho molto da scrivere, ho da correre subito alla stazione.

In my opinion you can think to it also as a “noun phrase”, so da mangiare is qualcosa da mangiare, and the doubt should vanish.