Un buon punto di partenza potrebbe essere la definizione di Treccani per onestamente:
onestamente /onesta'mente/ avv. [der. di onesto, col suff. -mente]. -
1. [secondo moralità e rettitudine: vivere o.] ≈ con onestà, lealmente, rettamente. ↔ disonestamente, slealmente. 2. (ant.) [con
decoro e decenza: Come 'l candido piè per l'erba fresca Dolci passi o.
move (F. Petrarca)] ≈ decorosamente. ↔ indecentemente,
indecorosamente. 3. [con valore frasale, in verità, per essere
franchi: o., non era una proposta accettabile; di questo, o., non ho
parlato; io avrei rifiutato l'offerta, o.] ≈ francamente, in
coscienza, in tutta franchezza (o onestà), sinceramente, veramente.
e per francamente:
francamente /franka'mente/ avv. [der. di franco², col suff. -mente]. - 1. [con franchezza, con schiettezza: ti dirò f. ciò che ne penso] ≈ apertamente, chiaramente, chiaro e tondo, franco, (fam.) in
faccia, onestamente, schiettamente, sinceramente. ↔ ambiguamente,
falsamente, ipocritamente, subdolamente. 2. [come avv. frasale, per
introdurre una frase con valore leggermente avversativo o per
puntualizzare: f. non mi pare] ≈ a dire il vero (o la verità), in
realtà, in verità, onestamente, per la precisione (o l'esattezza).
Come puoi vedere si possono considerare sinonimi, anche se, a mio parere, in alcuni casi si preferisce l'una all'altra.
Ad esempio:
I miei genitori mi hanno insegnato a comportarmi onestamente (qui francamente stonerebbe)
oppure
La pressione fiscale nel nostro sgangherato Paese ha raggiunto livelli
francamente intollerabili. (qui stesso discorso di prima)
Ad inizio frase io utilizzerei francamente invece di onestamente, ma, ripeto, questa è una preferenza personale.
Altri esempi di frasi con francamente e onestamente.