Hypothetical Phrases that are somehow "Restricted"

Question

In my Italian textbook, there’s an explanation that I’m having trouble understanding:

Quando il periodo ipotetico ha valore limitativo, la frase introdotta dal ‘se’ può essere espressa attraverso ‘a + infinito’. Questa struttura è più frequente nelle ipotetiche che usano il modo indicativo.

And then some examples are presented:

A saperlo prima, mi comportavo diversamente.
A essere sincero, non so niente di questo.
A pensar male, spesso si indovina la verità.
A essere corretti, dovremmo smettere di aiutarlo.

Before this, the book explained how you can use the gerund in these types of sentences by providing a “before and after”. This construction made sense, because I understood the rule and what’s being “replaced.” Could someone show me what’s being replaced, and what “limitative” means in this context? This is what I mean:

Potendo vengo a trovarvi. = Se (io) posso, (io) vengo a trovarvi.
Volendo potresti aiutarmi. = Se (tu) volessi, (tu) potresti aiutarmi.
-- If subject in both clauses is same, you can use the gerund of the verb instead.

Answer 1

Limitative sentences talk about an action or event that will/will not take place unless something happens.

These clause are almost always in the indicative and are introduced by «purché, sempreché, solo che, per poco che, a condizione che, a patto che», etc.

"Quando il periodo ipotetico ha valore limitativo" means "when the conditional sentence can be expresed as a limitative sentence", that is it can be expressed with the aid of prepositions «purché, sempreché, solo che, per poco che, a condizione che, a patto che», etc.

So, in these cases, instead of using a se clause, one can express a condition by using one of the following verb forms: gerund, infinitive or participle.

Gerund

Andando in treno (= se andassimo in treno, purché si vada, a condizione che si vada,...), si risparmierebbe un’ora.
If we (one) went by train, we (one) would save an hour.

Even when referring to a past context, only the present gerund can be used:

Guidando con più prudenza (= se avessi guidato con più prudenza, sempreché avessi guidato, purché avessi guidato,...), non avresti preso la multa.
If you had driven more carefully, you wouldn’t have got a fine.

Past participle

With "se"

Se compilato con attenzione (= se viene compilato con attenzione, purché venga compilato, a condizione che venga compilato,...), il questionario può essere uno strumento utile per capire il carattere di una persona.
If compiled with care, the questionnaire can be a useful tool to understand someone’s character.

Without "se"

Fatto in modo incompleto (= se fosse fatto in modo incompleto, nel caso che fosse fatto, nella condizione che fosse fatto,...), il sondaggio non sarebbe molto valido.
(If it were) done in an incomplete fashion, the survey wouldn’t be very valid.

Infinitive

A guardarla bene (= se la si guarda bene, sempreché la si gardi bene, purché la si guardi bene,...), sembra più vecchia di lui.
If you look at her closely, she seems older than him.

A reagire in modo eccessivo (= se reagisci in modo eccessivo, sempreché reagisci,...), , rischi di allontanare tuo figlio.
If you overreact, you risk alienating your son.

You can easily analyse your sentences in the same way.