La differenza è che "si mette" è presente indicativo, mentre "si mise" è passato remoto del verbo "mettersi", come si può vedere in questa tabella di coniugazione del verbo "mettere".
Si tratta di una frase del romanzo Sostiene Pereira di Antonio Tabucchi:
Quel bel giorno d’estate, con la brezza atlantica che accarezzava le cime degli alberi e il sole che splendeva, e con una città che scintillava, letteralmente scintillava sotto la sua finestra, e un azzurro, un azzurro mai visto, sostiene Pereira, di un nitore che quasi feriva gli occhi, lui si mise a pensare alla morte.
È una frase con un verbo dichiarativo al presente ("sostiene"), ma il resto della frase, che esprime quello che "Pereira sostiene", è al passato (Pereira riferisce fatti passati). Quindi, nella parte della frase riportata nella domanda, c'è da aspettarsi un verbo al passato e non al presente.